Geometria Analítica

René Descartes deve ser considerado um gênio da Matemática, pois relacionou a Álgebra com a Geometria, o resultado desse estudo foi a criação do Plano Cartesiano. Essa fusão resultou na Geometria Analítica. Descartes obteve grande destaque nos ramos da Filosofia e da Física, sendo considerado peça fundamental na Revolução Científica, por várias vezes foi chamado de pai da Matemática moderna. Ele defendia que a Matemática dispunha de conhecimentos técnicos para a evolução de qualquer área de conhecimento.

O Sistema de Coordenadas Cartesianas, mais comumente conhecido como Plano Cartesiano, consiste em dois eixos perpendiculares numerados, denominados abscissa (horizontal) e ordenada (vertical), que tem a característica de representar pontos no espaço.

Descartes utilizou o Plano Cartesiano no intuito de representar planos, retas, curvas e círculos através de equações matemáticas. Os estudos iniciais da Geometria Analítica surgiram com as teorias de René Descartes, que representavam de forma numérica as propriedades geométricas. A criação da Geometria Analítica por Descartes foi fundamental para a criação do Cálculo Diferencial e Integral pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz. O Cálculo se dedica ao estudo das taxas de variação de grandezas e a acumulação de quantidades, sendo de grande importância na Física, Biologia e Química, no que diz respeito a cálculos mais complexos e detalhados.

Além do Cálculo e da Geometria Analítica, os estudos de Descartes permitiram o desenvolvimento da Cartografia, ciência responsável pelos aspectos matemáticos ligados à construção de mapas. 

Uma característica importante da G.A. se apresenta na definição de formas geométricas de modo numérico, extraindo dados informativos da representação. Com base nesses estudos, a Matemática passa a ser vista como uma disciplina moderna, capaz de explicar e demonstrar situações relacionadas ao espaço. As noções intuitivas de vetores começam a ser exploradas de forma contundente, na busca por resultados numéricos que expressem as ideias da união da Geometria com a Álgebra.

Os vetores constituem a base dos estudos do espaço vetorial, objetos que possuem as características relacionadas a tamanho, direção e sentido. Os vetores são muito utilizados na Física, como ferramenta auxiliar nos cálculos relacionados à Cinemática Vetorial, Dinâmica, Campo Elétrico entre outros conteúdos relacionadosPodemos relacionar os seguintes tópicos ao estudo da G.A.:

Estudo Analítico do Ponto
Plano Cartesiano
Distância entre dois pontos
Ponto médio de um segmento
Condição de alinhamento de três pontos

Estudo da Reta
Equação geral e reduzida da reta
Intersecção entre retas
Paralelismo
Perpendicularidade
Ângulos entre retas
Distância entre ponto e reta

Estudo da Circunferência
Equação geral e reduzida da circunferência
Posições relativas entre ponto e circunferência
Posições relativas entre reta e circunferência
Problemas relacionados à tangência

Estudo das Cônicas
Elipse
Hipérbole
Parábola Intersecção entre cônicas
Retas tangentes a uma cônica

                                               Figura 1:Hipérboles são uma das frentes de estudo da Geometria Analítica.

                                               Fonte: Brasil Escola

               A geometria analítica requer que os discentes desenvolvam habilidades e competências com simples representações de pontos, figuras e relações de equação no plano cartesiano, até a resolução de problemas com equações e inequações, identificação de equação de reta, circunferência e formas cônicas.

 A tecnologia cada vez mais frequente no ambiente escolar e mundial nos leva a pensar em novas metodologias de ensino, já que o avanço tecnológico é visível em nosso cotidiano. Não podemos deixar de usar potenciais ferramentas de ensino, já que há uma grande disponibilidade de recursos como Internet, editores de textos, planilhas e software educacionais. Ou seja, essas ferramentas fazem lançarmos para os alunos uma nova didática, tornando o ensino mais interessante e colaborando para a mudança de relação entre aluno e professor.

As tecnologias são facilitadoras no ensino aprendizagens já que saem dos padrões formais de ensino que são lousa e giz, que pouco atraem os alunos. Contudo, o uso de softwares não garante melhoria no ensino; é necessário articular este processo com novas metodologias para fazer com que os alunos deixem de decorar fórmulas, e passem a construir o conhecimento.

O uso da tecnologia é cada vez mais presente na sociedade por ser de fácil manipulação e revolucionário, tornando situações antes burocráticas em situações simples.

Na educação não seria diferente; o uso de mídias, multimídias, jogos, Internet e software no ensino é cada vez mais comum, já que o mesmo torna uma situação abstrata em situações mais dinâmicas.

A evolução tecnológica trouxe uma nova visão social com relação a maneira de aprender, socializar e produzir. Esse mundo globalizado requer que o individuo renove diariamente seu aprendizado. Essa transformação contribui para que o aluno deixe de construir seu conhecimento através da memorização.

O software Geogebra é uma importante ferramenta para o ensino da Geometria Analítica, pois este programa tem uma interface dinâmica onde se relaciona álgebra, geometria e cálculo. As múltiplas vistas é um diferencial deste material, que possui uma folha de calculo, zona algébrica, zona gráfica, barra de ferramentas, entradas de comandos, barra de menus e barras de ferramentas como mostra a Figura 1.

Figura 2: Tela inicial do Geogebra

A partir de agora, vamos fazer uma breve descrição dos elementos que podem ser visualizados na figura 2.

Zona Algébrica

Usando a opção Entrada de Comandos podemos inserir diretamente expressões no Geogebra, e após ter teclado enter, a expressão algébrica digitada aparece na Zona Algébrica e a respectiva representação gráfica aparece na Zona Gráfica. Por exemplo, ao inserirmos f(x) = x ^ 2 aparece a função f na Zona Algébrica e o respectivo gráfico na Zona Gráfica.

As construções na zona gráfica, há uma representação dos elementos na zona algébrica e estes são atualizados automaticamente quando ocorre uma interferência na zona gráfica.

Na Zona Algébrica, os objetos matemáticos são organizados em duas classes: objetos livres e objetos dependentes. Se você criar um objeto novo, sem que para tal construção seja usado qualquer objeto existente, ele e classificado como objeto livre. Se o novo objeto for criado com recursos de objetos já existentes, ele e classificado como objeto dependente.

Zona Gráfica

Usando as ferramentas disponíveis na barra de ferramentas, podemos realizar construções geométricas na Zona Gráfica com o mouse. Cada objeto construído na Zona Gráfica tem também sua representação na Zona Algébrica.

Folha de Cálculo

Na Folha de Calculo do Geogebra, cada célula tem um nome específico que permite identifica-la diretamente. Por exemplo, a célula na coluna A e linha 1 e nomeada A1. O nome da célula pode ser usado em expressões e em comandos para identificar o conteúdo da célula correspondente. Nas células da folha de calculo pode-se inserir não só números, mas também todo o tipo de objetos matemáticos suportados pelo Geogebra (coordenadas de pontos, funções, comandos).

Barra de ferramentas

Ao clicar e manter pressionado cada item da barra de ferramentas podemos visualizar as opções em cada um. Para selecionar uma das opções basta ir com o mouse a opção (mantendo pressionado o botão) e clicar. O Geogebra possui todas as ferramentas tradicionais de um Software de geometria dinâmica: pontos, segmentos, retas e seções cônicas. Por outro lado, equações e coordenadas podem ser inseridas diretamente. Assim, o Geogebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, duas representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si: sua representação geométrica e sua representação algébrica.

Agora, vamos nos deter em “conhecer” a barra de Ferramentas de uma forma detalhada, bem como explorar os comandos que são mais comumente utilizados nas construções com esse software.

REFERÊNCIAS:

VENTURINI, Daniel Moro. GEOMETRIA ANALITICA E GEOGEBRA: UMA COMBINACAO PERFEITA NA EXPLORACAO DE CONCEITOS E PROPRIEDADES. 

Disponível em: www.unifra.br/cursos/matematica/.../TFG%20-%20Daniel[1][1].pdf‎. Acesso em: 07/12/2013.

VALÉRIO, Alex Aparecido Vaz. SOUZA, Luciana de Fátima Rodrigues. ENSINO DA GEOMETRIA ANALITICA COM O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA. 

Disponível em: www.fira.edu.br/revista/vol3_num1_pag7.pdf Acesso em: 07/12/2013

 disponivel em : http://www.brasilescola.com/matematica/geometria-analitica.htm  , Acesso em : 08/12/2013                

Componentes do Grupo:

Carlos F. Meyer

Elisane Strelow

Girle kohn

Mariana Padilha Oreste

Tamires Holz Gerhke

Acadêmicas do 6º semestre do curso de Licenciatura em Matemática

pela Universidade Federal de Pelotas – UFPel